jueves, 24 de marzo de 2011

Euclidesssss... dinos algoooo desde el Whats App del infinitooooooo

Creo que YA habia publicado esta entrada pero en el blog de deivychuzas... asi que simplemente, porque todos fuimos a la misma clase... vamos a darle un repaso a euclides... AUNQUE LLEGA CON EL PRIMER PARRAFO:

De otros blogs (españoles, por si lo dudais...):
1.-Siempre hemos escuchado que dos rectas paralelas son aquellas que por mucho que se prolonguen nunca llegan a cortarse, PERO ( igual no estabais en clase de Caparros...) también conocemos "el concepto de que dos rectas paralelas se cortan en el infinito". ¿Cual de estas dos afirmaciones es verdadera?

... y sigue :

la Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen en el siglo XVII:

• Dos puntos definen una recta.
• Todo par de rectas se cortan en un punto (cuando dos rectas son paralelas decimos que se cortan en un punto del infinito conocido como punto impropio).

Otro Blog: ( espero que NO leais todo esto en AMARILLO ... pero por si alguien lo habia olvidado... )
3.-Bien, espero que estén preparados para las curiosidades matemáticas que me dispongo a exponerles. El otro día les hablé de un modelo que aparece por la necesidad práctica de describir el universo en el que vivimos. Durante esta y la siguiente entrada vamos a hablar de un modelo cuya interpretación real es mucho menos intuitiva, aunque una vez comprendida resulta lógica y evidente.

Primero vamos a comentar qué es UNA geometría (y observen el una en lugar de la). Una geometría es un sistema de elementos que cumplen una serie de axiomas. Un axioma se define como una verdad evidente que no precisa demostración formal. Por ejemplo, el enunciado todo número natural tiene un siguiente es un axioma. Los axiomas que introducen una geometría son de dos clases: los axiomas de incidencia, y los axiomas de congruencia. Ambos paquetes de axiomas se dividen en sus versiones para rectas y para ángulos. Puesto que estos axiomas escapan al comprender general, los pasaremos por alto e iremos construyendo las geometrías en orden cronológico.

Así pues, lo primero que hay que hacer es enunciar los Postulados de Euclides. Los Postulados de Euclides son cinco y muestran una serie de reglas que en teoría bastan para asegurar que estamos haciendo geometría. Dicen así:

1. Desde un punto cualquiera se puede trazar una recta a otro punto cualquiera.
2. Toda recta se puede prolongar indefinidamente.
3. Con un punto y una distancia (radio) se puede trazar un círculo.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Dada una recta y un punto exterior a ella existe una única recta que pasa por el punto y es paralela a la primera.

La geometría usual cumple, efectivamente, estos postulados; y si quieren comprobarlo, agarren lápiz y papel y traten de violarlos. Aunque son muy buenos y describen la geometría de un modo muy eficaz y riguroso presentan el problema de que el infinito queda muy alejado de toda posibilidad de descripción a partir de los mismos. Así pues, en geometría euclídea no nos queda otra que concebir al infinito como aquello que no se puede abastar. Aquello a lo que por mucho que nos movamos o por mucho que contemos no alcanzaremos jamás. Allí dónde ocurre todo lo que nunca puede ocurrir. Esta frase, aunque es una contradicción en sí misma por tratarse de un abuso de lenguaje, nos permite deducir que si las paralelas no se cruzan jamás y en el infinito sucede todo aquello que nunca sucede, entonces las rectas paralelas se cruzan en el infinito. Y éste, y sólo éste, es el razonamiento que se sigue en colegios e instituos poder para decir que así lo hacen.

Pero, si avanzamos en el tiempo y nos situamos en el Siglo XIX, tenemos al amigo Gauss (y a otros tipos menos molones) construyendo una nueva geometría a partir de las dudas planteadas unos años atrás por Kant con respecto a los postulados de Euclides y su geometría (temerario bocazas, por otra parte). Si prescindimos del quinto postulado de Euclides, podemos usar los otros cuatro para construir un sistema geométrico que obre como sigue:

Trazamos una línea horizontal que denominaremos la recta del infinito. Esta recta define dos semiplanos, uno de ellos es nada de nada; al otro lo llamaremos el semiplano hiperbólico y en él es dónde sucederán las cosas.



En el semiplano hiperbólico vamos a colocar pares de puntos como toda la vida, y siguiendo el primer postulado de Euclides, desde cada punto trazaremos una recta a cualquier otro punto, pero fíjense en cómo lo hemos hecho:

Efectivamente, r y s son rectas, definidas por los puntos a y b, y p y q respectivamente. Las rectas hiperbólicas son, en el sentido euclídeo, semicircunferencias cuyo radio está contenido en la recta del infinito y rectas perpendiculares a la recta del infinito. A esta geometría, la cual funciona con estas clases de rectas, la llamamos la Geometría Hiperbólica. Además, estas dos rectas son paralelas puesto que nunca se cruzan. Ahora bien, supongamos las rectas como en la siguiente figura:

Notemos que el punto a es exterior a la recta r. Sin embargo por él pasan dos rectas paralelas a la recta r. Por ello, en la geometría hiperbólica debe sustituirse el quinto postulado de Euclides por el siguiente:

Dada una recta y un punto exterior a la misma existe almenos una recta que pasa por el punto y es paralela a la primera.

Y fijémonos que este postulado sigue sirviendo para la Geometría Euclídea, puesto que "almenos una" incluye también "una sola".

Por último, fijarse que podríamos colocar un punto sobre la recta del infinito y en él hacer coincidir varias rectas:

¿Son las rectas r y t paralelas? La respuesta es que sí, puesto que son rectas que no se cruzan en ninguna parte del semiplano hiperbólico, sin embargo, se cruzan en el infinito. Además, las rectas r y s no se cruzan ni en el semiplano ni en la recta del infinito, ¿son, pues, paralelas? La respuesta es que son más que eso: a las rectas que no se cruzan ni siquiera en el infinito las llamamos rectas ultraparalelas (realmente, a las anteriores las llamamos hiperparalelas). En la Geometría Euclídea no existen rectas ultraparalelas, y por ello, llamamos a las que son hiperparalelas sencillamente paralelas. En la próxima entrada mostraremos por qué no existen las ultraparalelas en la Geometría Euclídea. Lo haremos a través de la Geometría Proyectiva y veremos que, efectivamente, y de verdad, las rectas paralelas se cruzan en el infinito.

BUENO pues eso QUE LOS QUE HAYAIS QUEDADO EN EL INFINITO ... AL LLEGAR NOS DAIS UN TOQUE AL RESTO... "SI ES QUE HAY COBERTURA O WHATS APP, CLAROOO..."

P.D. ya os lo dije varias veces, lo que mas me choca es que es la Tipica Frase del libro de Dibujo... y que nadie se acordase y yo si es mazoooo raro... no estare en el universo paralelo de Fringe,no?


Bicos




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